頑張る中学生を応援するかめきち先生です。
今回は
定期テストはもちろん
高校受験の時にもよく出題される
「この三角形の面積は
全体の図形の面積の
何分のいくつでしょうか？」
という問題を解くコツについて、
お話をしていきます。
今回のお話は
三角形の面積比を使用しますが、
三角形の面積比の求め方には
高さが同じ三角形の場合や
相似な三角形の場合など、
いくつかパターンがあります。
その中で
よく出題される１つの
パターンについて
お話をしていきます。
考え方を
しっかりとマスターしておけば
一見複雑そうに見える問題でも
ちゃんと対応できるようになるので、
頑張って身につけておきましょう！
基本は、高さが同じ三角形の面積比を使う
例えば
次のような図がある場合、
△ＡＰＣの面積は
△ＡＢＣの面積の何倍になるか
分かるでしょうか？
※図中の数字は、辺の比を表します。
この場合は、
高さが同じ三角形の面積比は
底辺の長さの比と同じになる
という考え方を使います。
ＢＰとＰＣの辺の比が
１ ： ３
なので、
△ＡＢＰと△ＡＰＣの面積比も
１ ： ３
になります。
ということは
△ＡＰＣに対しての
全体△ＡＢＣの面積比は、
△ＡＢＰ（１）と△ＡＰＣ（３）の面積比を足した
「４」ということになります。
なので
全体△ＡＢＣと△ＡＰＣの面積比は
４ ： ３
となり、
△ＡＰＣ ＝ △ＡＢＣ × ３／４
ということになります。
※全体△ＡＢＣの底辺ＢＣと
△ＡＰＣの底辺ＰＣの比を
直接比べて、
全体△ＡＢＣと△ＡＰＣの面積比は
４ ： ３
としても
当然かまいません。
複雑な図形は、求める図形を含むブロックを残していく
それでは
次の図の場合、
△ＡＰＣの面積は
△ＤＢＣの面積の何倍に
なるでしょうか？
この場合も
高さが同じ三角形の面積比は
底辺の長さの比と同じになる
という考え方を使って、
△ＡＰＣの面積比は
全体のいくつになるか
ということを求めていきますが、
ここで１つコツがあります。
それは
面積比を求めたい図形（△ＡＰＣ）を含む
ブロックを残して
三角形をどんどん切っていく
という方法を使う、
ということです。
やり方を
詳しく説明していきます。
まず
全体△ＤＢＣに注目すると、
△ＣＡＤと
求めたい△ＡＰＣ（赤の枠線）を含む
△ＣＡＢとに
分割できることが分かります。
ここで
必要となるのは△ＡＰＣ（赤の枠線）を含む
△ＣＡＢの部分（黄色）なので、
△ＣＡＢのブロックが
全体△ＤＢＣの何倍になるかを
考えます。
全体△ＤＢＣと△ＣＡＢの
底辺の比は
ＤＢ：ＡＢ＝２：１
なので、
面積比の関係も
△ＤＢＣ：△ＣＡＢ＝２：１となり
△ＣＡＢ＝△ＤＢＣ×１／２ ・・・ ①
（あとで、この式をもう一度使います。）
ということを
求めることができます。
次に
残った△ＣＡＢに注目して、
求めたい△ＡＰＣ（緑）が
△ＣＡＢの何倍になるのかを
考えます。
先ほどと同じように
底辺の比（ＢＣ：ＰＣ＝４：３）から
△ＡＰＣ＝△ＣＡＢ×３／４ ・・・ ②
になることが分かります。
ここで最初に
△ＣＡＢ＝△ＤＢＣ×１／２ ・・・ ①
と求めているので、
②の△ＣＡＢの部分に
①の式を代入して、
△ＡＰＣ＝△ＤＢＣ×１／２×３／４
＝△ＤＢＣ×３／８
となり
△ＡＰＣの面積は
△ＤＢＣの面積の３／８倍である
ということを求めることができます。
※考え方が分かったら
代入などせずに、
三角形を切っていくたびに
ダイレクトに全体△ＤＢＣに
１／２と３／４を
かけてしまってかまいません。
問題にチャレンジ
それでは
今までの話を踏まえて、
次の問題にチャレンジしてみて下さい。
次の図で
△ＧＥＦの面積は
△ＡＢＣの面積の
何倍になるでしょうか？
※図中の数字は、辺の比を表します。
どうでしょうか？
答えを求められたでしょうか？
それでは
解き方の説明を行っていきます。
まず
全体△ＡＢＣを
面積比を求めたい△ＧＥＦを含む
△ＡＥＣのブロックを残して、
三角形を次の図のように切ります。
全体△ＡＢＣと△ＡＥＣの
底辺の比は
ＢＣ：ＥＣ＝３：２
なので、
面積比の関係も
△ＡＢＣ：△ＡＥＣ＝３：２となり、
△ＡＥＣ＝△ＡＢＣ×２／３ ・・・①
とあらわすことができます。
続いて
△ＡＥＣを
面積比を求めたい△ＧＥＦを含む
△ＡＥＦのブロックを残して、
次の図のように切ります。
さきほどと同じように
△ＡＥＣと△ＡＥＦの
底辺の比は
ＡＣ：ＡＦ＝９：７
なので、
面積比の関係も
△ＡＥＣ：△ＡＥＦ＝９：７となり、
△ＡＥＦ＝△ＡＥＣ×７／９ ・・・②
とあらわすことができます。
最後に
△ＡＥＦを
面積比を求めたい△ＧＥＦの
ブロックを残して、
次の図のように切ります。
今までと同じように
△ＡＥＦと△ＧＥＦの
底辺の比は
ＡＥ：ＧＥ＝５：２
なので、
面積比の関係も
△ＡＥＦ：△ＧＥＦ＝５：２となり、
△ＧＥＦ＝△ＡＥＦ×２／５ ・・・ ③
とあらわすことができます。
ここまで求めてきた
つぎの３つの式より
△ＡＥＣ＝△ＡＢＣ×２／３ ・・・①
△ＡＥＦ＝△ＡＥＣ×７／９ ・・・②
△ＧＥＦ＝△ＡＥＦ×２／５ ・・・③
対応する三角形のところに
それぞれの式を代入していきます。
（①の式を②に代入して、
その結果を③に代入する。）
すると
△ＧＥＦ＝△ＡＢＣ×２／３×７／９×２／５
＝△ＡＢＣ×２８／１３５
となり、
△ＧＥＦの面積は
△ＡＢＣの面積の
２８／１３５倍である
と答えを求めることができます。
まとめ
三角形が全体の図形の中に
組み込まれていて、
その三角形と全体の図形の
面積比（「全体の図形の何倍か？」）を
求める問題を解くコツについて
まとめます。
１．「高さが同じ三角形の面積比は
底辺の長さの比と同じになる」
という考え方を利用する。
２．三角形が複雑な図形の中に
組み込まれている場合は、
面積比を求めたい三角形を含む
ブロックを残して
図形をどんどん切っていく。
あきらめずにねばり強くやりつづけることで
必ずできるようになります！
頑張る中学生をかめきち先生は応援しています。
最後まで読んでいただき
ありがとうございました。
