数学。作図のコツ2、よく出題される2つの性質。

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頑張る中学生を応援するかめきち先生です。

今回は
「作図のコツ、3つの基本パターン」に
引き続き、
定期テストや高校入試において
よく出題される
「2つの線の性質」について
お話をしていきたいと思います。

「2つの線の性質」とは、

角の二等分線の性質
垂直二等分線の性質

のことです。

これらの性質を
利用した問題は、
形を変えて
色々な出題のされ方をしますが、
「性質」を押さえて
代表的な使用例を覚えておけば
対応できるので、
ここでしっかりと
押さえておきましょう!

角の二等分線と
垂直二等分線の
描き方については、
「作図のコツ、3つの基本パターン」の
記事の中で
説明をしているので、
参考にしてみて下さい。

角の二等分線の性質

それでは
角の二等分線の性質から
説明を行っていきます。

角の二等分線の性質とは、
角の二等分線上の点から
その角を作っている
2辺までの距離は
つねに等しくなる
ということです。

図のように、
角の二等分線上の点から
辺ACと辺ABに
垂直に下ろした線の距離は
つねに等しくなる、
ということです。

言葉で覚えるよりも
上の図のイメージで
覚えておきましょう。

この性質を使った
代表的な問題が、
次の問題です。

(問題)
図において辺ABに点Dで接し、
辺ACに接する円を
コンパスと定規を使って作図しなさい。

考え方としては、
∠CABの間のどこかに
円の中心があって、
そこから点Dまでと
辺ACまでの距離は
円の半径となるので
等しくなる、
ということになります。

∠CABの
辺ACと辺AB
2つの辺までの
距離が等しい点(=円の中心)を
求めることになるので、
角の二等分線の性質を利用して
作図を行うことができます。

作図の手順です。

①∠CABの二等分線を引きます。

②点Dを通る垂線を引きます。

③∠CABの二等分線と
点Dを通る垂線が交わる点をOとすると、
点Oは
∠CABの二等分線上にあるので
ODと
点OからACまでの距離は
等しくなります。

④そして
この点Oが
円の中心となり、
辺ABに点Dで接し、
辺ACに接する円を
描くことができる
ということになります。

角の二等分線の性質を
使った問題は、
とてもよく出題されるので
「性質」と
「代表的な問題」を
合わせて
覚えておきましょう。

垂直二等分線の性質

つづいて
垂直二等分線の性質
ついてです。

垂直二等分線の性質とは、
線分の垂直二等分線上の点は、
線分の両端から
つねに等しい距離にある
ということです。

図のように、
垂直二等分線上の点は
2点A、Bから
つねに等しい距離にある
ということになります。

この
垂直二等分線の性質も、
上の図のイメージで
覚えておきましょう。

この性質を使った
代表的な問題が、
次の問題です。

(問題)
図の3点A、B、Cを
通る円を、
定規とコンパスを使用して
作図しなさい。

考え方としては、
3点A、B、Cを通る円なので
円の中心は
A、B、Cそれぞれから
等しい距離にある点、
ということになります。

言いかえると、
円の中心は
2点B、Cから
等しい距離にあり、
それと共に
2点A、Cからも
等しい距離にある
ということができるので、
垂直二等分線の性質を利用して
作図を行うことができます。

※2点A,Bと2点B,Cの
組み合わせ、
または
2点A、Bと2点A、Cの
組み合わせでも
大丈夫です。

作図の手順です。

①線分BCに対して
垂直二等分線を引きます。

②線分ACに対して
垂直二等分線を引きます。

③①の線分BCの
垂直二等分線上の点は、
つねに点Bと点Cから
等しい距離にあり
②の線分ACの
垂直二等分線上の点は、
つねに点Aと点Cから
等しい距離にあるので、
2本の垂直二等分線の
交点Oは
3点A、B、Cから
等しい距離にある
ということがいえます。

④ということは、
点Oは
A、B、Cそれぞれから
等しい距離にある点なので、
3点A、B、Cを通る円の
中心となり、
点Oにコンパスの中心をさして
3点を通る円を
描くことができます。

垂直二等分線の性質を
使った問題も
よく出題されるので、
「性質」と
「代表的な問題」を
しっかりと押さえて
おきましょう。

角の二等分線と垂直二等分線の性質を混同しないために

最後に
角の二等分線と
垂直二等分線の性質を
混同しないために、
それぞれの
図のイメージにプラスして
このように覚えておくと
よいです。

角の二等分線上の点は
辺からの距離が等しい

垂直二等分線上の点は
点からの距離が等しい

しっかりと
「2つの線の性質」を
押さえておきましょう。

まとめ

「2つの線の性質」について
まとめます。

1.角の二等分線の性質は、
角の二等分線上の点から
その角を作っている
2辺までの距離は
つねに等しい。

2.垂直二等分線の性質は、
線分の垂直二等分線上の点は、
線分の両端から
つねに等しい距離にある。

3.角の二等分線上の点は
「辺」から、
垂直二等分線上の点は
「点」から、
距離が等しいと覚えておくとよい。

 

あきらめずに
くり返し何度も取り組めば、
必ずできるようになります!

頑張る中学生を
かめきち先生は応援しています。

最後まで読んでいただき
ありがとうございました。

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