頑張る中学生を応援するかめきち先生です。
今回は、
関数の問題の
小問として
よく出題されることのある
関数のグラフの中にある
三角形の面積を求めるコツ
について
お話をしていきたいと思います。
関数のグラフの中にある
三角形の面積を求める際に、
三角形の中に補助線を引いて
分割して面積を求めるなど
色々な方法があると思いますが、
これからお話をする
コツを使えば、
三角形の頂点である
３つの点の座標が分かれば
どのような形の三角形であっても
面積を求めることができます。
ぜひ
マスターしておきましょう！
三角形の面積を求めやすいパターン
次の関数のグラフの図で、
△ＡＯＢの面積を
求める場合は、
どのようにすれば
よいと思いますか？
（図には表記していませんが、
３点Ａ、Ｂ、Ｃの座標は
分かっているものとします。）
このパターンの場合は、
△ＡＯＢを
ＣＯを底辺とする
２つの三角形に分割して、
それぞれの面積を求めて
合計する
という方法で
求めることができます。
１つの三角形が
△ＡＯＣ（次の図の①）
もう１つの三角形が
△ＢＯＣ（次の図の②）
になります。
点Ａ、Ｂ、Ｃの
座標の情報から、
それぞれの三角形の
底辺と
高さを
求めることができるので、
△ＡＯＣ（図の①）と
△ＢＯＣ（図の②）の
面積を求めて、
それらを合計して
△ＡＯＢの面積を
算出することが
できます。
このように
ｘ軸やｙ軸に平行な線で
三角形を分割して、
底辺と
それぞれの高さを
座標から
求められる場合は、
あまり悩むことなく
面積を求めることが
できると思います。
三角形の面積を求めにくいパターン
それでは次の図の
△ＡＢＣの面積を
求める場合は
どうでしょうか？
（３点Ａ、Ｂ、Ｃの座標は
分かっているものと
します。）
この場合、
三角形の中に
補助線を引くといった
方法でも
面積を求めることは
できますが、
考え方や計算が
複雑になってしまいます。
そこで
三角形の頂点である
３つの点（点Ａ、Ｂ、Ｃ）の座標が
分かるのであれば、
シンプルに三角形の面積を
出せる方法があります。
その方法とは
三角形の頂点である
３つの点（点Ａ、Ｂ、Ｃ）を通る
長方形（もしくは正方形）を作成して、
そこから
必要ない部分の面積を引いて
三角形の面積を求める
という方法です。
① まず
次の図のように
三角形の頂点である
３つの点（点Ａ、Ｂ、Ｃ）を通る
長方形を作成します。
② つづいて
３つの頂点（点Ａ、Ｂ、Ｃ）の
座標の情報から
長方形の全体の面積を求めて、
そこから
必要のない部分（次の図で緑色の部分）
の面積を引いて
△ＡＢＣの面積を
求めていきます。
それでは
次の図のように
点Ａ、Ｂ、Ｃの座標の情報が
与えられている場合、
実際に△ＡＢＣの面積を
求めてみます。
（自分の力で
できそうであれば、
まずはチャレンジしてみて下さい。）
△ＡＢＣの面積の求め方は、
① まず
△ＡＢＣの頂点を通る
長方形を作成します。
長方形の横の長さは
Ａのｘ座標が－５
Ｃのｘ座標が４
ということから、
５＋４＝９
ということが分かります。
長方形の縦の長さは
Ａのｙ座標が８
Ｂのｙ座標が１
ということから、
８－１＝７
ということが分かります。
よって
３点Ａ、Ｂ、Ｃを通る
長方形の面積は、
９×７＝６３
になります。
② つづいて
必要ない部分の
三角形の面積（緑色の部分）を
求めていきます。
図の①の三角形の底辺は
Ａのｘ座標が－５
Ｂのｘ座標が３
ということから、
５＋３＝８
ということが分かります。
高さは
Ａのｙ座標が８
Ｂのｙ座標が１
ということから、
８－１＝７
ということが分かります。
同様に
それぞれの座標の情報から、
②の三角形と
③の三角形の
底辺と高さも求めていきます。
次に
図で緑色のついた
それぞれの三角形の面積を
求めていくと、
①の三角形の面積は
８×７×１／２＝２８
②の三角形の面積は
１×５×１／２＝５／２
③の三角形の面積は
９×２×１／２＝９
ということになります。
最後に
求めたい△ＡＢＣの面積は、
長方形全体の面積から
３つの三角形の面積を
引いたものになるので、
６３－２８－５／２－９＝４７／２
ということになります。
以上が
関数のグラフの中にある三角形で
３つの頂点の座標が分かる場合の
三角形の面積の求め方に
なります。
高校入試でも
よく出題されるところなので
しっかりと
マスターしておきましょう！
まとめ
関数のグラフの中にある
三角形の面積を求めるコツ
についてまとめます。
① ｘ軸やｙ軸に平行な線で
三角形を分割して、
底辺や
それぞれの高さを
座標から容易に
求められるのであれば、
その方法で
三角形の面積を求める。
② ①の方法だと
計算が複雑になりそうな場合は、
三角形の３つの頂点を通る
長方形（もしくは正方形）を作成して、
そこから
必要ない部分の面積を引いて
三角形の面積を求める。
あきらめずにねばり強く取り組めば
必ずできるようになりますよ！
頑張る中学生をかめきち先生は応援しています。
最後まで読んでいただき
ありがとうございました。
