数学。連立方程式、「２けたの自然数」の問題を解くコツ。

頑張る中学生を応援するかめきち先生です。

今回は
連立方程式の文章題としてよく出題される
「２けた自然数」の問題を解くコツについて、
お話をしていきます。

「２けたの自然数」を文字を使って
どのように表すのか、
考え方をしっかりと理解しておけば
高校入試などで出題される
複雑なものにも対応できるようになるので、
ここでしっかりとポイントを
おさえておきましょう！

ポイントは２つ

まずは例題です。

２けたの自然数があり、十の位は一の位の２倍より１小さい。
また、十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数は、
もとの数より９小さい。
もとの数を求めなさい。

このような問題が出題された場合、
ポイントとなるのは
次の２点です。

ポイント１

各けたの数字を
文字を使って表す。

十の位の数字をｘ
一の位の数字をｙ
で表す。

ポイント２

２ケタの自然数を
文字を使って式で表す。

もとの数
１０ｘ＋ｙ

十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数
１０ｙ＋ｘ

それぞれのポイントについて
説明をしていきます。

ポイント１：各けたの数字を文字を使って表す

これは十の位、一の位
２けたのそれぞれの数字を
文字のｘとｙを使って
表すということです。

例えば、
十の位をｘ
一の位をｙ
で表すとした場合、
もとの自然数が「６２」であれば
ｘ＝６
ｙ＝２
ということになります。

ここで注意しなければいけないのは、
ｘとｙは各けたの数字を意味しているだけで
足してももとの自然数にはならない
ということです。

ｘとｙを足しても「６＋２＝８」になるだけで
「６２」にはなりませんよね。

注意してください。

ポイント２：２けたの自然数を式を使って表す

これは
２ケタの自然数（もとの数、十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数）を
先ほどのｘとｙを使って
式で表すということです。

結論から言うと
２けたの自然数（もとの数）の場合は、
十の位をｘ
一の位をｙ
としたのであれば、

２けたの自然数（もとの数）＝１０×ｘ＋１×ｙ

で表すことができます。

なぜそのようになるのかというと、
十の位のｘ
一の位のｙ
はそれぞれの位の数字を表しているだけなので、
２けたの自然数として表すには

十の位のｘには１０をかけて
一の位のｙには１をかけて
両方をたす

ということを行う必要があります。

同じような考え方で
十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数を
式で表す場合は、

２けたの自然数（十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数）
＝１０×ｙ＋１×ｘ

と表すことができます。

※もし３けたの自然数を
百の位をｘ
十の位をｙ
一の位をｚ
として各位を文字で表すのであれば、
３けたの自然数は
１００×ｘ＋１０×ｙ＋１×ｚ
という式で表すことができます。

例題を解いてみよう

それでは
これまでにお話をした
２つのポイントを使って、
例題を解いていきましょう。

（例題）
２けたの自然数があり、十の位は一の位の２倍より１小さい。
また、十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数は、
もとの数より９小さい。

もとの数を求めなさい。

まずは
１つ目のポイントでお話をした
「各けたの数字を文字を使って表す」
ということを行います。

２けたの自然数の
十の位を「ｘ」
一の位を「ｙ」
と表します。

問題文に
「十の位は一の位の２倍より１小さい」とあるので、

ｘ（十の位の数字）＝２×ｙ（一の位の数字）－１　・・・①

という式を作ることができます。
※この式はあとで使います。

続いて
２つ目のポイントでお話をした
「２けたの自然数を式を使って表す」
ということを行っていきます。

もとの数の２ケタの自然数と
十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数
を次のように表します。

２けたの自然数（もとの数）＝１０×ｘ＋１×ｙ

２けたの自然数（十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数）
＝１０×ｙ＋１×ｘ

そして問題文に
「十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数は、
もとの数より９小さい」
とあるので、
これをそのまま式に書きかえると

（十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数）＝（もとの数）－９

１０×ｙ＋１×ｘ＝（１０×ｘ＋１×ｙ）－９・・・②

という式を作ることができます。

ここまでで
ｘとｙを使った
①と②の２つの異なる式ができたので、
この２つの式の連立方程式を解いて
ｘとｙを求めていきます。

この連立方程式を解くと
ｘ＝３
ｙ＝２
となります。

ということで
もとの数は「３２」であるということを
求めることができます。

どうでしょうか？

２ケタの自然数を求める問題で、
「十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数」などと
問題文に出てきたら、
２つのポイントをしっかりと思い出して
取り組んでみて下さい。

まとめ

連立方程式の文章題
「２けたの自然数」の問題を解くコツについて
まとめます。

１．各けたの数字を
文字を使って表す。
（十の位の数字をｘ
一の位の数字をｙ
で表す。）

２．２ケタの自然数（もとの数、十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数）を
ｘとｙを使って式で表す。

２けたの自然数（もとの数）＝１０×ｘ＋１×ｙ
２けたの自然数（十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数）
＝１０×ｙ＋１×ｘ

あなたなら、分かるまでねばり強く頑張り続けることができますよ。
頑張る中学生をかめきち先生は応援しています。

最後まで読んでいただき
ありがとうございました。